но я же вхожу в веб интерфейс именно с интернета. Не из локальной сети. Когда делаю хардварный ресет ЕСП, но роутер при этом уже включен, то проблем нет, все работает как надо.

тогда проверяем:
1 .Включена ли галка народмон.
2. Проверяем вбит действующий ли NTP сервер
3. Проверяем не заблокированы ли DNS запросы на роутере..

1. Галка стояла. Снял - сет- поставил - сет. Ничего не помогло.
2. НТП дейсвующий 91.226.136.136. После хардварного ресета время поднимается нормально.
3. Это проверить пока не могу. К роутеру нет доступа из вне.

Доброго дня. Как решилась ваша проблема? У меня похожая, при появлении электричества после пропадания не синхронизирует время, перегружается каждые 7,8 секунд, причем на первой секунде после загрузки, свободная память 29000-30000, а на 7,8 всего 4200. лечится только выключением ESP на время не менее 50сек. Работают 4шт ESP в двух местах, дома и в оффисе, 1шт, ESP12 и 3 шт ЕSP8266 NodeMCU, на всех одинаково. На всех pro прошивки.

Попробуйте задать вручную статик ип в модуле. Или наоборот динамик, если стоял статик.

Возможно роутер не дает ДНС сервера.

Не решилась никак. Если перегрузить роутер еще раз, то ЕСП выходит в инет нормально.